已知函數 f(t)=\frac{1}{a}e^{-a|t|}, a>0，則下列何者為函數 f(t) 的傅立葉轉換（Fourier transform）（i=\sqrt{-1}）？
A\frac{-2i\omega}{a(a^2+\omega^2)}
B\frac{2i\omega}{a(a^2+\omega^2)}
C\frac{-2}{a^2+\omega^2}
D\frac{2}{a^2+\omega^2}正確答案
答案與詳解
D
正確答案
偶函式的傅立葉轉換為實偶函式，利用積分公式直接得出結果為 2/(a^2+ω^2)。
為什麼答案是 D
正確。利用偶函式性質與傅立葉積分表，正確計算出結果為 2/(a^2+ω^2)。
載入中…
完整詳解
Pro · 無限重點 偶函式的傅立葉轉換為實偶函式，利用積分公式直接得出結果為 2/(a^2+ω^2)。
秒殺技巧
記住雙邊指數衰減函數 e^{-a|t|} 的傅立葉轉換為 2a/(a^2+ω^2)，本題多乘了 1/a，故答案為 2/(a^2+ω^2)。逐選項分析
A✕
錯誤。這是奇函數或含虛部的錯誤結果，未考慮原函式為偶函式，傅立葉轉換應為實數。
B✕
錯誤。同上，原函式為偶函式，其傅立葉轉換結果應為純實數，不會有虛數 i。
C✕
錯誤。符號錯誤或積分計算錯誤，衰減函式的頻譜應為正值，不可能為負數。
D✓ 正確
正確。利用偶函式性質與傅立葉積分表，正確計算出結果為 2/(a^2+ω^2)。
常見指數函式傅立葉轉換對照
| 時域函式 f(t) | 頻域函式 F(ω) |
|---|---|
| e^{-at} u(t) (a>0) | 1/(a+iω) |
| e^{-a|t|} (a>0) | 2a/(a^2+ω^2) |
| (1/a)e^{-a|t|} (a>0) | 2/(a^2+ω^2) |
陷阱提醒
考生易將單邊指數函式 e^{-at}u(t) 的轉換公式 1/(a+iω) 與雙邊指數函式 e^{-a|t|} 混淆，導致誤選含虛數 i 的選項 A 或 B。