給定複變數函數 $f(z)=\dfrac{2}{(z-1)(z-3)}$，針對區域 $1

Question

給定複變數函數 $f(z)=\dfrac{2}{(z-1)(z-3)}$，針對區域 $1<|z|<3$ 對函數 $f(z)$ 展開可得 $f(z)=\cdots +az^{-1}+b+cz+dz^2+\cdots$，則下列選項何者正確？
(A) a = -\dfrac{1}{3}
(B) b = -\dfrac{1}{3}
(C) c = -\dfrac{1}{3}
(D) d = -\dfrac{1}{3}

Accepted Answer

正確答案為 B。 複變函式需先進行部分分式分解，再依據收斂區域決定展開方式，最後合併同冪次項求係數。 (A) 【羅朗展開係數】a 為 $z^{-1}$ 的係數。由 $\dfrac{-1}{z-1}$ 在 $|z|>1$ 展開可得 $a = -1$，與選項給定的 $-\dfrac{1}{3}$ 不符。 (B) 【羅朗展開係數】b 為常數項。由 $\dfrac{1}{z-3}$ 在 $|z|<3$ 展開可得常數項為 $-\dfrac{1}{3}$，且 $\dfrac{-1}{z-1}$ 展開無常數項，故 $b = -\dfrac{1}{3}$，選項敘述正確。

給定複變數函數 \(f(z)=\dfrac{2}{(z-1)(z-3)}\)，針對區域 \(1<|z|<3\) 對函數 \(f(z)\) 展開可得 \(f(z)=\cdots +az^{-1}+b+cz+dz^2+\cdots\)，則下列選項何者正確？

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給定複變數函數 \(f(z)=\dfrac{2}{(z-1)(z-3)}\)，針對區域 \(1<|z|<3\) 對函數 \(f(z)\) 展開可得 \(f(z)=\cdots +az^{-1}+b+cz+dz^2+\cdots\)，則下列選項何者正確？

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