某元件使用壽命 X（單位：小時），其機率密度函數（probability density function）為 f(x)=0.005e^{kx}, x\geq 0。則 k 值及元件平均使用壽命為何？
Ak = 0.005，平均使用壽命 200 小時
Bk = 0.005，平均使用壽命∞小時
Ck = -0.005，平均使用壽命 200 小時正確答案
Dk = -0.005，平均使用壽命∞小時
答案與詳解
C
正確答案
指數分佈機率密度函數積分必為1，推得k為負值；期望值公式為1/λ，算出平均壽命200小時。
為什麼答案是 C
由積分等於1推得k=-0.005，代入期望值公式1/λ算出平均壽命為200小時。
載入中…
完整詳解
Pro · 無限重點 指數分佈機率密度函數積分必為1，推得k為負值；期望值公式為1/λ，算出平均壽命200小時。
秒殺技巧
壽命分佈必為指數分佈 f(x)=λe^(-λx)，對照題意 λ=0.005, k=-0.005，平均壽命 1/λ = 200。逐選項分析
A✕
k值應為負數才能使無限區間積分收斂，且平均壽命計算有誤。
B✕
k值應為負數，且指數分佈的平均壽命為有限值而非無限大。
C✓ 正確
由積分等於1推得k=-0.005，代入期望值公式1/λ算出平均壽命為200小時。
D✕
k值正確，但誤以為指數分佈平均壽命為無限大，實為1/λ=200。
指數分佈核心公式
| 專案 | 公式 | 本題數值 |
|---|---|---|
| 機率密度函數 | f(x) = λe^(-λx) | λ = 0.005 |
| 引數 k | k = -λ | k = -0.005 |
| 期望值(平均壽命) | E[X] = 1/λ | E[X] = 200 |
陷阱提醒
考生易忽略機率密度函數在無限區間積分必須為1的條件，誤判k為正數；或混淆指數分佈期望值公式，誤算為無限大。