若 $A=\begin{bmatrix}-1&0&3\0&2&0\0&0&2\end{bmatrix}$ 存在可逆矩陣 $P$ 可將其對角化為 \(P^{-1}AP=\begin{bmatrix}-1&0&0…

Question

若 $A=\begin{bmatrix}-1&0&3\0&2&0\0&0&2\end{bmatrix}$ 存在可逆矩陣 $P$ 可將其對角化為 $P^{-1}AP=\begin{bmatrix}-1&0&0\0&2&0\0&0&2\end{bmatrix}$。則 $P$ 的第一行行向量為何？
(A) $\begin{bmatrix}0\-1\1\end{bmatrix}$
(B) $\begin{bmatrix}1\0\1\end{bmatrix}$
(C) $\begin{bmatrix}1\1\0\end{bmatrix}$
(D) $\begin{bmatrix}-1\0\0\end{bmatrix}$

Accepted Answer

正確答案為 D。 選 D。由 AP=PD 可知 P 的第1個直向量必須是 A 對應特徵值 −1 的特徵向量；解 (A+I)v=0 得 v=(a,0,0)ᵀ，選項中只有 (−1,0,0)ᵀ。 (A) (0,−1,1)ᵀ 代入 A 後不是 −1 倍自身，故不是第一個對角元 −1 所需的特徵向量。 (B) (1,0,1)ᵀ 是 λ=2 的特徵向量之一，可放在 P 的第2或第3個直向量，不能對應第一個對角元 −1。

若 \(A=\begin{bmatrix}-1&0&3\\0&2&0\\0&0&2\end{bmatrix}\) 存在可逆矩陣 \(P\) 可將其對角化為 \(P^{-1}AP=\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{bmatrix}\)。則 \(P\) 的第一行行向量為何？

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若 \(A=\begin{bmatrix}-1&0&3\\0&2&0\\0&0&2\end{bmatrix}\) 存在可逆矩陣 \(P\) 可將其對角化為 \(P^{-1}AP=\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{bmatrix}\)。則 \(P\) 的第一行行向量為何？

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