鐵路人員考試高員三級-電力工程工程數學112 年第 10 題單選題

考慮微分方程式 \(\dfrac{d^2y}{dx^2}+\cos(x)\dfrac{dy}{dx}+\sin(x)y=1-x^3\)，\(y(0)=1,\dfrac{dy}{dx}(0)=0\)。若此方程式的級數解可表示為 \(y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} c_n x^n\)，則 \(c_3\) 為何？

A\(c_3=-\dfrac{1}{3}\)正確答案

B\(c_3=-\dfrac{1}{6}\)

C\(c_3=\dfrac{1}{6}\)

D\(c_3=\dfrac{1}{3}\)

答案與詳解

正確答案

利用泰勒級數展開代入微分方程式，先由常數項係數與初始條件求出 c_2，再比較一次項係數即可解出 c_3。

正確。由初始條件知 c_0=1, c_1=0。比較方程式的常數項係數可得 2c_2 + c_1 = 1，解得 c_2=1/2。再比較一次項係數可得 6c_3 + 2c_2 + c_0 = 0，代入 c_2=1/2 與 c_0=1，解得 c_3=-1/3。

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