考慮聯立方程組 Ax = 0，其中 A ∈ R^(8×10)。若此方程組的通解含有 6 個任意常數，則 A 的值域空間（range space）維度（dimension）為何？
A8
B6
C4正確答案
D3
答案與詳解
C
正確答案
矩陣A為8×10，解空間維度(零度)為6，由秩-零度定理算出值域空間維度(秩)為10-6=4。
為什麼答案是 C
由秩-零度定理，rank(A) = n - nullity(A) = 10 - 6 = 4，此即為值域空間的維度。
載入中…
完整詳解
Pro · 無限重點 矩陣A為8×10，解空間維度(零度)為6，由秩-零度定理算出值域空間維度(秩)為10-6=4。
秒殺技巧
變數數 n=10，任意常數數即零度 nullity=6，秩 rank = 10 - 6 = 4，即為值域空間維度。逐選項分析
A✕
8 為矩陣的列數 m，代表方程式的個數，並非值域空間的維度。
B✕ 陷阱
6 為通解的任意常數數，即零空間維度(nullity)，考生易因未看清題目問「值域空間」而誤選。
C✓ 正確
由秩-零度定理，rank(A) = n - nullity(A) = 10 - 6 = 4，此即為值域空間的維度。
D✕
3 為無意義的干擾選項，可能來自於錯誤的直覺計算或混淆了其他矩陣引數。
秩-零度定理 (Rank-Nullity Theorem) 核心引數
| 引數名稱 | 數學符號 | 物理/幾何意義 | 本題數值 |
|---|---|---|---|
| 變數總數 | n | 矩陣 A 的行數 (未知數個數) | 10 |
| 零空間維度 | nullity(A) | 齊次方程組通解中任意常數的個數 | 6 |
| 秩 (值域維度) | rank(A) | 值域空間 (Column Space) 的維度 | 4 |
| 列空間維度 | m | 矩陣 A 的列數 (方程式個數) | 8 |
陷阱提醒
題目問的是「值域空間」維度（即秩 rank），但給的條件是「通解任意常數」個數（即零度 nullity）。考生若沒看清題目問的是值域空間，很容易直接選 6 (選項B)。