二階常微分方程式 (x−2)^2 y''−5(x−2)y'+8y=0 的解之型式為何？
Ay=c_1(x−2)^3+c_2(x−2)^5
By=c_1(x−2)^2+c_2(x−2)^6
Cy=c_1(x−2)^3+c_2(x−2)^4
Dy=c_1(x−2)^2+c_2(x−2)^4正確答案
答案與詳解
D
正確答案
本題為變體柯西-尤拉方程式，令t=x-2後求特徵方程，根為2與4即為指數。
為什麼答案是 D
特徵方程 m^2-6m+8=0 的兩根為2與4，故通解為 c1(x-2)^2 + c2(x-2)^4。
載入中…
完整詳解
Pro · 無限重點 本題為變體柯西-尤拉方程式，令t=x-2後求特徵方程，根為2與4即為指數。
秒殺技巧
令 t=x-2 轉為標準型，代入 y=t^m 得 m(m-1)-5m+8=0，解得 m=2, 4。逐選項分析
A✕
指數3和5並非特徵方程 m^2-6m+8=0 的根，屬於計算錯誤或亂猜。
B✕
指數2正確，但6並非特徵方程的根，可能是將係數加錯導致。
C✕
指數4正確，但3並非特徵方程的根，同樣是特徵方程列錯或算錯。
D✓ 正確
特徵方程 m^2-6m+8=0 的兩根為2與4，故通解為 c1(x-2)^2 + c2(x-2)^4。
柯西-尤拉方程式 (Cauchy-Euler Equation) 標準解法
| 方程式形式 | 變數代換 | 特徵方程 | 相異實根通解 |
|---|---|---|---|
| a(x-x0)^2 y'' + b(x-x0)y' + cy = 0 | 令 t = x-x0 | am(m-1) + bm + c = 0 | y = c1*t^m1 + c2*t^m2 |
陷阱提醒
考生常將柯西方程式的特徵方程誤記為常係數形式，忘記 y'' 對應 m(m-1) 而非 m^2，導致算錯根或得出虛根。