給定 Z = X + iY = (1−i)^{20} = re^{i\theta}，則下列敘述何者錯誤？
AZ = -2^{10}
Br = 2^{10}
C\theta = 0正確答案
DY = 0
答案與詳解
C
正確答案
複數 (1-i)^20 展開後為負實數 -2^10，其極座標幅角 θ 應為 π 而非 0。
為什麼答案是 C
Z = -2^10 位於負實軸，幅角 θ 應為 π (或 -π)，而非 0，此敘述錯誤。
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完整詳解
Pro · 無限重點 複數 (1-i)^20 展開後為負實數 -2^10，其極座標幅角 θ 應為 π 而非 0。
秒殺技巧
先求 (1-i) 的極座標為 √2 * e^(-iπ/4)，次方後得 2^10 * e^(-i5π) = -2^10，幅角為 π。逐選項分析
A✕
計算結果 Z = 2^10 × (-1) = -2^10，敘述正確。
B✕
極座標的模長 r = |Z| = |-2^10| = 2^10，敘述正確。
C✓ 正確
Z = -2^10 位於負實軸，幅角 θ 應為 π (或 -π)，而非 0，此敘述錯誤。
D✕
Z = -2^10 + 0i，虛部 Y = 0，敘述正確。
複數極座標與代數形式轉換
| 形式 | 表示法 | 本題對應值 |
|---|---|---|
| 代數形式 | X + iY | -2^10 + 0i |
| 極座標形式 | r × e^(iθ) | 2^10 × e^(iπ) |
| 模長 (r) | |Z| = √(X²+Y²) | 2^10 |
| 幅角 (θ) | arg(Z) | π (或 -π) |
陷阱提醒
考生易將複數偶數次方結果直覺認為是正數，或誤以為幅角會回到原點。實際上 e^(-i5π) = -1，結果為負實數，幅角應為 π 而非 0。