下列何者為函數 $f(t)=\left\{\begin{aligned}\sin t,\quad0\leq t\leq2\pi\\ 2+\cos t,\quad t\geq2\pi\end{aligned}\right.$ 之拉普拉斯轉換（Laplace Transform）？

國家安全情報人員考試三等考試-電子組(選試英文)工程數學108 年第 13 題單選題

下列何者為函數 $f (t) = {sin (t), cos (t) + 2, 0 \leq t \leq 2 π t \geq 2 π$ 之拉普拉斯轉換（Laplace Transform）？

\frac{1 - s ^{2}}{s ^{2} + 1} + \frac{2 e ^{- 2 π s}}{s}

\frac{1 - s ^{2} + s}{s ^{2} + 1} + \frac{( 1 + 1 ) e ^{- 2 π s}}{s}

\frac{1 + ( s ^{2} + 1 )}{s ^{2} + 1} + \frac{2 e ^{- 2 π s}}{s} + \frac{e ^{- 2 π s}}{s}

正確答案

\frac{s ^{2} - 1}{s ^{2} + 1} + \frac{2 e ^{- 2 π s}}{s}

答案與詳解

正確答案

分段函數拉普拉斯轉換：前段直接積分，後段用單位步階函數平移定理處理。

正確分解：L{sin t}=1/(s²+1)；後段差值函數 g(t)=2+cos(t+2π)-sin(t+2π)=2+cos t-sin t，其轉換為 2/s+(s-1)/(s²+1)，再乘 e^{-2πs}。兩部分相加即為正解。

載入中…

步驟	操作	公式/關鍵	本題應用
1. 改寫	用單位步階 u(t-a) 表達	f(t)=f₁(t)+u(t-a)[f₂(t)-f₁(t)]	sin t + u(t-2π)[2+cos t - sin t]
2. 化簡	利用週期性簡化三角函數	sin(t+2π)=sin t, cos(t+2π)=cos t	差值函數化為 2+cos t-sin t
3. 轉換	分別求拉普拉斯轉換	L{u(t-a)g(t)}=e^{-as}L{g(t+a)}	e^{-2πs}[2/s+(s-1)/(s²+1)]
4. 合併	加總所有項	線性性質	1/(s²+1) + e^{-2πs}[...]