下列何者為函數 $f(t)=\left\{\begin{aligned}\sin t,\quad0\leq t\leq2\pi\ 2+\cos t,\quad t\geq2\pi\end{aligned} ight.…

Question

下列何者為函數 $f(t)=\left\{\begin{aligned}\sin t,\quad0\leq t\leq2\pi\ 2+\cos t,\quad t\geq2\pi\end{aligned}ight.$ 之拉普拉斯轉換（Laplace Transform）？
(A) $\left(\frac{2}{s} +\frac{s - 1}{s^2 + 1}ight)e^{-2\pi s}$
(B) $\frac{2}{s} + \frac{s - 1}{s^2 + 1} + \frac{1}{s^2 + 1} e^{-2\pi s}$
(C) $\frac{1}{s^2 + 1} + \left(\frac{2}{s} + \frac{s - 1}{s^2 + 1}ight)e^{-2\pi s}$
(D) $\frac{2}{s} + \frac{s - 1}{s^2 + 1} e^{-2\pi s}$

Accepted Answer

正確答案為 C。 分段函數拉普拉斯轉換：前段直接積分，後段用單位步階函數平移定理處理。 (A) 【遺漏前段】僅計算了 t≥2π 部分的變換並乘以 e^{-2πs}，完全遺漏了 0≤t≤2π 區間 sin(t) 的拉普拉斯轉換項 1/(s²+1)。這是未正確使用單位步階函數分解的典型錯誤。 (B) 【平移誤用】雖然包含 2/s 與 (s-1)/(s²+1)，但這些項不應獨立存在於非指數項中。此選項誤將後段函數的轉換直接相加，未正確套用平移定理，且多餘的 e^{-2πs}/(s²+1) 來源不明。

下列何者為函數 $f (t) = {sin t, 0 \leq t \leq 2 π 2 + cos t, t \geq 2 π$ 之拉普拉斯轉換（Laplace Transform）？

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下列何者為函數 f(t)={sint,0≤t≤2π2+cost,t≥2π​ 之拉普拉斯轉換（Laplace Transform）？

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