國家安全情報人員考試三等考試-電子組(選試英文)工程數學108 年第 7 題單選題
試問下列何者複數函數其極限值不存在？
Alimz→iArg(z)
Blimz→−1[Arg(z)]2
Climz→0zˉz正確答案
Dlimz→0zˉz2
C正確答案
判斷複變函數極限是否存在，關鍵在於「從不同路徑逼近原點時，極限值是否相同」。若化為極座標後結果仍受角度 θ 影響，則極限不存在。
為什麼答案是 C
令 z = re^(iθ)，則 z/z_bar = (re^(iθ)) / (re^(-iθ)) = e^(i2θ)。當 z→0 (即 r→0) 時，極限值取決於逼近路徑的角度 θ。例如沿實軸(θ=0)極限為1，沿虛軸(θ=π/2)極限為-1。路徑不同極限不同，故極限不存在。
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完整詳解
Pro · 無限重點 判斷複變函數極限是否存在，關鍵在於「從不同路徑逼近原點時，極限值是否相同」。若化為極座標後結果仍受角度 θ 影響，則極限不存在。
將 z 替換為極座標 re^(iθ)。選項 C 化簡後為 e^(i2θ)，極限值完全取決於逼近角度 θ，因此極限不存在，秒選 C。
逐選項分析
A✕
當 z 趨近於 i（虛數軸正半軸）時，其主幅角 Arg(z) 穩定趨近於 π/2。因為只有單一極限值，故極限存在。
B✕ 陷阱
這是最大陷阱！當 z 趨近 -1 時，從上半平面逼近 Arg(z)→π，從下半平面逼近 Arg(z)→-π。雖然 Arg(z) 極限不存在，但題目有「平方」，(π)² = (-π)² = π²，故平方後的極限存在。
C✓ 正確
令 z = re^(iθ)，則 z/z_bar = (re^(iθ)) / (re^(-iθ)) = e^(i2θ)。當 z→0 (即 r→0) 時，極限值取決於逼近路徑的角度 θ。例如沿實軸(θ=0)極限為1，沿虛軸(θ=π/2)極限為-1。路徑不同極限不同，故極限不存在。
D✕
令 z = re^(iθ)，則 z²/z_bar = (r²e^(i2θ)) / (re^(-iθ)) = r*e^(i3θ)。當 z→0 (即 r→0) 時，因為 |e^(i3θ)| = 1 有界，整體必定趨近於 0，與角度 θ 無關，極限存在且為 0。
常見複變函數 z→0 的極限判定
| 函數型態 | 極座標化簡結果 | r→0 時的狀態 | 極限是否存在 |
|---|
| z / z_bar | e^(i2θ) | 與 r 無關，受 θ 影響 | 不存在 |
| z_bar / z | e^(-i2θ) | 與 r 無關，受 θ 影響 | 不存在 |
| z² / z_bar | r * e^(i3θ) | r→0 且 e^(i3θ) 有界，整體→0 | 存在 (為0) |
| |z|² / z | r * e^(-iθ) | r→0 且 e^(-iθ) 有界，整體→0 | 存在 (為0) |
考生常記得「主幅角 Arg(z) 在負實數軸上不連續（極限不存在）」，就急著選 B。但忽略了題目外面包了一個「平方」，將原本一正一負的極限值變成了相等的正值，使得極限反而存在了。 
