函數 f(x) = x²，−π < x < π 的傅立葉級數為 f(x) = (π²/3) + 4∑_{n=1}^{∞} (−1)ⁿ cos(nx)/n²，求 (1/1²) + (1/3²) + (1/5²) + (1/7²) + ... ？ (A) π²/8 (B) π²/6 (C) π²/4 (D) π²/2

正確答案為 A。由 $\sum 1/n^2=\pi^2/6$ 與 $\sum 1/(2n)^2=\pi^2/24$ 相減得奇數項和為 $\pi^2/8$。 (A) 正確,$1+1/9+1/25+\cdots=\pi^2/8$。 (B) 此為所有正整數平方倒數和 $\sum 1/n^2$,非僅奇數項。

國家安全情報人員考試三等考試-電子組(選試英文)工程數學108 年第 17 題單選題

函數 $f (x) = x^{2}$ ， $- π < x < π$ 的傅立葉級數為 $f (x) = \frac{π ^{2}}{3} + 4 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{( - 1 ) ^{n} c o s ( n x )}{n ^{2}}$ ，求 $\frac{1}{1 ^{2}} + \frac{1}{3 ^{2}} + \frac{1}{5 ^{2}} + \frac{1}{7 ^{2}} + \dots$ ？

\frac{π ^{2}}{8}

正確答案

\frac{π ^{2}}{6}

\frac{π ^{2}}{4}

\frac{π ^{2}}{2}

答案與詳解

正確答案

由

\sum 1/ n^{2} = π^{2} /6

與

\sum 1/ (2 n)^{2} = π^{2} /24

相減得奇數項和為

π^{2} /8

。

逐選項解析

Aπ²/8✓ 正確

正確,$1+1/9+1/25+\cdots=\pi^2/8$。

Bπ²/6✕ 錯誤

此為所有正整數平方倒數和 $\sum 1/n^2$,非僅奇數項。

Cπ²/4✕ 錯誤

Dπ²/2✕ 錯誤

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