專技高考-建築師建築結構107 年第 26 題單選題
如圖所示之懸臂柱構件頂端承受軸壓力N與側力V，構件斷面寬與深分別為B與D。若忽略自重，當軸壓應力可剛好抵銷柱底最大撓曲拉應力，使斷面完全受壓時，N與V之比值為何？
A3L2D
B2D3L
CL3D
DD6L正確答案
D正確答案
令軸壓應力 N/A 等於彎矩造成的最大拉應力 M·c/I，解出 N/V = 6L/D。
為什麼答案是 D
由 \(N/A = M/S\) 推得 \(N/V = 6L/D\)，正確。
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完整詳解
Pro · 無限重點 令軸壓應力 N/A 等於彎矩造成的最大拉應力 M·c/I，解出 N/V = 6L/D。
1. 由圖：懸臂柱頂受側力 V，柱底彎矩 \(M = V\cdot L\)；軸力 N 造成均勻壓應力。
2. 斷面寬 B、深 D（彎曲方向為 D），斷面積 \(A = B D\)，斷面模數 \(S = \dfrac{B D^2}{6}\)。
3. 軸壓應力 \(\sigma_N = \dfrac{N}{BD}\)；彎曲最大拉應力 \(\sigma_M = \dfrac{M}{S} = \dfrac{6 V L}{B D^2}\)。
4. 斷面剛好完全受壓的臨界條件：\(\sigma_N = \sigma_M\)。
5. \(\dfrac{N}{BD} = \dfrac{6VL}{BD^2} \Rightarrow \dfrac{N}{V} = \dfrac{6L}{D}\)。
6. 故選 (D)。
逐選項分析
✕
\(2D/3L\) 為核心距 \(e=D/6\) 顛倒推導的錯誤。
✕
\(3D/L\) 把 L 與 D 位置顛倒，且係數錯誤。
✓ 正確
由 \(N/A = M/S\) 推得 \(N/V = 6L/D\)，正確。
矩形斷面軸壓+彎曲關鍵公式
| 項目 | 公式 |
|---|
| 斷面積 A | \(BD\) |
| 彎曲方向斷面模數 S | \(BD^2/6\) |
| 核心距 (kern) | \(e_k = D/6\) |
| 完全受壓條件 | \(N/A \ge M/S\)，臨界時取等號 |
| 本題結果 | \(N/V = 6L/D\) |
矩形斷面同時受軸壓與橫向力時,出題者在測「什麼時候軸壓應力會剛好抵銷彎曲拉應力」。關鍵是把 N/A 寫成 N/(BD),彎曲應力用斷面模數 I/c = BD²/6 改寫成 M/(BD²/6),令兩者相等後代入 M=VL 就能解出 N/V。考生最常卡在兩個地方:一是忘記斷面模數公式裡的 1/6 係數,導致答案差 6 倍;二是搞混彎矩方向,橫向力 V 沿哪個方向作用,彎曲就是繞垂直該方向的軸,這時 I 公式裡分子要用該方向尺寸的三次方。 
