如圖， $\Delta QA_{1}A_{2}$ 是 $\overline{A_{1}A_{2}} = 1$ 的直角三角形。已知 $\angle QA_{1}A_{2} = 30^{\circ}$ ， $\angle QA_{2}A_{1} = 90^{\circ}$ ，線段 $\overline{A_{2}A_{3}} \perp \overline{A_{1}Q}$ ， $\overline{A_{3}A_{4}} \perp \overline{A_{2}Q}$ ， $\overline{A_{4}A_{5}} \perp \overline{A_{3}Q}$ ，… $\overline{A_{n-1}A_{n}}$ 按照此規則不斷類推，試問線段 $\overline{A_{2}A_{3}}$ ， $\overline{A_{3}A_{4}}$ ，…， $\overline{A_{11}A_{12}}$ ，的長度之和等於多少？ (A) $\frac{1023}{1024}$ (B) $1\frac{1023}{1024}$ (C) $\frac{511}{512}$ (D) $1\frac{511}{512}$

國小教甄｜普通科普通／共同科目115 年第 57 題單選題

如圖， $Δ Q A_{1} A_{2}$ 是 $\overline{A_{1} A_{2}} = 1$ 的直角三角形。已知 $∠ Q A_{1} A_{2} = 3 0^{\circ}$ ， $∠ Q A_{2} A_{1} = 9 0^{\circ}$ ，線段 $\overline{A_{2} A_{3}} ⊥ \overline{A_{1} Q}$ ， $\overline{A_{3} A_{4}} ⊥ \overline{A_{2} Q}$ ， $\overline{A_{4} A_{5}} ⊥ \overline{A_{3} Q}$ ，… $\overline{A_{n - 1} A_{n}}$ 按照此規則不斷類推，試問線段 $\overline{A_{2} A_{3}}$ ， $\overline{A_{3} A_{4}}$ ，…， $\overline{A_{11} A_{12}}$ ，的長度之和等於多少？

A$\frac{1023}{1024}$正確答案

B$1\frac{1023}{1024}$

C$\frac{511}{512}$

D$1\frac{511}{512}$

答案與詳解

正確答案

每段垂線都是前一段的 1/2，10 段等比級數和為 1023/1024。

A$\frac{1023}{1024}$✓ 正確

A2A3 到 A11A12 共 10 段，依序為 1/2、1/4、1/8、…、1/1024，其和為 1-(1/2) 的 10 次方 = 1023/1024。

B$1\frac{1023}{1024}$✕ 易錯陷阱

此值等於把原直角三角形邊長 1 也計入總和，但題目只問 A2A3 到 A11A12 的長度之和。

C$\frac{511}{512}$✕ 易錯陷阱

D$1\frac{511}{512}$✕ 易錯陷阱

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