專技高考-醫事放射師醫學物理學與輻射安全104 年第 70 題單選題
有 2 mg 的 $^{226}\text{Ra}$ ( $T_{1/2} = 1600\text{y}$ )，蛻變1000年後，還剩下多少未蛻變？
A1.30 mg正確答案
B1.97 mg
C1.17 mg
D0.99 mg
A正確答案
套用衰變公式 N=N₀·(1/2)^(t/T₁/₂)，2×(0.5)^(1000/1600) ≈ 1.30 mg。
為什麼答案是 A
正解。N = 2 × (1/2)^(1000/1600) = 2 × (0.5)^0.625 ≈ 2 × 0.6485 ≈ 1.297 mg ≈ 1.30 mg，符合半衰期公式計算。
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完整詳解
Pro · 無限重點 套用衰變公式 N=N₀·(1/2)^(t/T₁/₂)，2×(0.5)^(1000/1600) ≈ 1.30 mg。
心算技巧：1000/1600=0.625，(0.5)^0.625 ≈ 0.6485，2×0.6485 ≈ 1.30 mg，直接鎖定 A。
逐選項分析
A✓ 正確
正解。N = 2 × (1/2)^(1000/1600) = 2 × (0.5)^0.625 ≈ 2 × 0.6485 ≈ 1.297 mg ≈ 1.30 mg，符合半衰期公式計算。
B✕ 陷阱
陷阱選項。1.97 mg 是把指數誤算成極小值（如 t≪T₁/₂ 的近似），或誤把 1000 y 視為遠小於 1600 y 而幾乎沒衰變，計算錯誤。
C✕ 陷阱
錯誤。1.17 mg 接近 (0.5)^0.77 ≈ 0.585，可能是把 t/T₁/₂ 誤算為 1000/1300 或用錯衰變常數，導致衰變比例過高。
D✕ 陷阱
錯誤。0.99 mg 約是 N₀/2，等同於誤把 1000 年當作一個半衰期（實際 T₁/₂=1600 y），是最常見的粗心陷阱。
放射性衰變公式
| 公式形式 | 表達式 | 適用情境 | 本題代入 |
|---|
| 半衰期式 | N = N₀·(1/2)^(t/T₁/₂) | 已知半衰期 | 2×(0.5)^(1000/1600) |
| 指數式 | N = N₀·e^(-λt) | 已知衰變常數 λ | λ=ln2/1600 |
| 關係式 | λ = ln2 / T₁/₂ | 兩式換算 | λ ≈ 4.33×10⁻⁴ /y |
| 本題結果 | ≈ 1.30 mg | t=1000 y | 保留約 64.85% |
最容易踩雷的是 D（0.99 mg），考生看到「1000 年」直覺反應成「一個半衰期過了」就減半。但 226Ra 半衰期是 1600 年，1000 年只過了 0.625 個半衰期，剩餘量應大於一半。 
