台北市國小教師甄選-英語科基礎類科知能113 年第 43 題單選題
k 為一正整數且 1+2+3+⋯+k 是個三位數，則 k 的最大值減最小值為何？
B正確答案
用等差級數公式 k(k+1)/2 介於 100~999，求 k 的最大與最小整數值之差。
為什麼答案是 B
1+2+…+k = k(k+1)/2。最小 k：k(k+1)/2≥100，k=13 得 91（兩位），k=14 得 105（三位）✓。最大 k：k=44 得 990（三位）✓，k=45 得 1035（四位）✗。44-14=30。
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完整詳解
Pro · 無限重點 用等差級數公式 k(k+1)/2 介於 100~999，求 k 的最大與最小整數值之差。
k(k+1)/2 ≥ 100 → k≥14；k(k+1)/2 ≤ 999 → k≤44。44-14=30。
逐選項分析
A✕ 陷阱
29 是常見誤算。若把上界算成 k≤43（誤判 43×44/2=946 才符合，但其實 44×45/2=990 仍是三位數），就會得到 43-14=29。要小心驗算邊界。
B✓ 正確
1+2+…+k = k(k+1)/2。最小 k：k(k+1)/2≥100，k=13 得 91（兩位），k=14 得 105（三位）✓。最大 k：k=44 得 990（三位）✓，k=45 得 1035（四位）✗。44-14=30。
C✕ 陷阱
31 是把下界誤算為 k=13（91 其實是兩位數，不符合三位數定義）所致：44-13=31。下界要嚴格 ≥100。
D✕
32 是上下界都誤判（k=13 到 k=45）的結果，與正確邊界相差過大，明顯錯誤。
等差級數和邊界檢驗 S(k)=k(k+1)/2
| k | S(k) | 位數 | 符合三位數? |
|---|
| 13 | 91 | 兩位 | ✗ |
| 14 | 105 | 三位 | ✓ 最小 |
| 44 | 990 | 三位 | ✓ 最大 |
| 45 | 1035 | 四位 | ✗ |
等差級數和公式 k(k+1)/2 要落在三位數範圍,關鍵在兩端臨界值必須逐一代入驗算。下界 k=13 算出 91 不足三位數、k=14 得 105 才達標;上界 k=44 算出 990 仍在範圍內、k=45 跳到 1035 超過。很多人習慣直接解不等式後四捨五入,卻忘了整數邊界可能剛好卡在公式值的跳躍點上,導致多算或少算一個 k。正確做法是鎖定嫌疑區間後,把前後兩個整數都實際算一遍,確認哪個才真正「剛進門」和「剛出界」,答案就是這兩個臨界 k 值之差。 
