台北市國小教師甄選-英語科基礎類科知能113 年第 57 題單選題
只能用自然數與加號來湊數，例如湊數「1」，只有 1 種方法｛1｝；湊數「2」，有 2 種方法｛2, 1+1｝；湊數「3」，有 3 種方法｛3, 2+1, 1+1+1｝；求湊數「7」有幾種方法？
C正確答案
求自然數的「分割數」p(7)=15，是組合數學的經典問題。
為什麼答案是 C
正解。系統列出：7／6+1／5+2／5+1+1／4+3／4+2+1／4+1+1+1／3+3+1／3+2+2／3+2+1+1／3+1+1+1+1／2+2+2+1／2+2+1+1+1／2+1×5／1×7，共 15 種。
載入中…
完整詳解
Pro · 無限重點 求自然數的「分割數」p(7)=15，是組合數學的經典問題。
記住分割數序列 p(n): p(1)=1, p(2)=2, p(3)=3, p(4)=5, p(5)=7, p(6)=11, p(7)=15。
逐選項分析
A✕ 陷阱
13 是漏算了 2 種分割方式。常見漏掉的是「3+2+2」或「4+2+1」之類的組合。
B✕ 陷阱
14 也是漏算 1 種。考生若用樹狀圖窮舉容易遺漏，要系統性按「最大加數」分類才不會錯。
C✓ 正確
正解。系統列出：7／6+1／5+2／5+1+1／4+3／4+2+1／4+1+1+1／3+3+1／3+2+2／3+2+1+1／3+1+1+1+1／2+2+2+1／2+2+1+1+1／2+1×5／1×7，共 15 種。
D✕ 陷阱
16 是多算了。常見錯誤是把「順序不同」當成不同方法（如 1+2 與 2+1 重複算），但本題視為同一種。
整數分割數 p(n) 對照表
| n | 分割數 p(n) | 範例 |
|---|
| 1 | 1 | {1} |
| 2 | 2 | {2, 1+1} |
| 3 | 3 | {3, 2+1, 1+1+1} |
| 4 | 5 | {4, 3+1, 2+2, 2+1+1, 1+1+1+1} |
| 5 | 7 | 加上 5、4+1、3+2、3+1+1、2+2+1、2+1+1+1、1+1+1+1+1 |
| 6 | 11 | 依此類推 |
| 7 | 15 | 本題答案 |
陷阱在於「順序是否計入」。題目從 p(3)=3 可推知「1+2 與 2+1 算同一種」，是分割不是排列。窮舉時務必按「最大加數遞減」系統性列出，避免遺漏或重複。 
