國中教甄｜數學數學112 年第 4 題單選題

下列關於積分的算式，何者正確？

A$\int_{e}^{\infty}\frac{1}{x(\ln x)^{2}}dx=1$正確答案

B$\int_{-\infty}^{\infty}x^{3}dx=0$

C$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x}dx=0$

D$\int_{-3}^{3}\frac{\tan x}{1+x^{2}+x^{4}}dx=0$

答案與詳解

正確答案

選項(A)透過變數變換可計算出收斂值為1，其餘選項皆為發散的廣義積分或瑕積分。

令 $u = ln x$ ，則 $d u = \frac{1}{x} d x$ ，積分化為 $\int_{1}^{\infty} u^{- 2} d u = [- u^{- 1}]_{1}^{\infty} = 0 - (- 1) = 1$ ，計算正確且收斂。

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