幂級數（power series） $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n3^n}x^n$ 的收斂半徑為何？

Question

幂級數（power series） $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n3^n}x^n$ 的收斂半徑為何？
(A) $(-3,3)$
(B) $(-3,3]$
(C) $[-3,3)$
(D) $[-3,3]$

Accepted Answer

正確答案為 B。 利用比值審斂法求得收斂半徑為3，再代入端點檢驗，得知x=3時為交錯級數收斂，x=-3時為調和級數發散，故收斂區間為(-3,3]。 (A) 僅求出收斂半徑對應的開區間，未進一步檢驗端點x=3與x=-3的收斂性，漏掉x=3為收斂端點。 (B) 收斂半徑為3，代入x=3得交錯級數收斂，代入x=-3得調和級數發散，故收斂區間為(-3,3]，符合本選項。

幂級數（power series） $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n 3 ^{n}} x^{n}$ 的收斂半徑為何？

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