座標平面上，拋物線 $y = ax^2 + bx + c$ 與 $x$ 軸相交於 $A, B$ 兩點，且與 $y$ 軸相交於點 $C$。若 $\Delta ABC$ 是直角三角形，則 $ac$ 的值為何？

Question

座標平面上，拋物線 $y = ax^2 + bx + c$ 與 $x$ 軸相交於 $A, B$ 兩點，且與 $y$ 軸相交於點 $C$。若 $\Delta ABC$ 是直角三角形，則 $ac$ 的值為何？
(A) 必定為 $-1$
(B) 必定為 $0$
(C) 必定為 $1$
(D) 不能確定

Accepted Answer

正確答案為 A。 利用直角三角形射影定理與韋達定理，推導出 ac 必定為 -1。 (A) 直角必在 C 點，由射影定理得 c^2 = -x_1x_2。代入韋達定理 x_1x_2 = c/a，得到 c^2 = -c/a。因 c 不等於 0，兩邊除以 c 即得 ac = -1。 (B) 若 ac = 0，因 a 不等於 0 必有 c = 0。此時 C 點為原點，且拋物線過原點，導致 C 與 A 或 B 重合，無法形成三角形。

座標平面上，拋物線 $y = a x^{2} + b x + c$ 與 $x$ 軸相交於 $A, B$ 兩點，且與 $y$ 軸相交於點 $C$ 。若 $Δ A B C$ 是直角三角形，則 $a c$ 的值為何？

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