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國中教甄|數學數學112 年第 16 題單選題

下列哪一個二階矩陣所代表的線性變換其幾何意義為“先繞原點逆時針轉,再以軸為對稱軸做鏡射”?

A$\begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ -\frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}$正確答案
B$\begin{bmatrix} -\frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}$
C$\begin{bmatrix} -\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ -\frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}$
D$\begin{bmatrix} -\frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ -\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}$
答案與詳解
A
正確答案
將逆時針旋轉45度的矩陣左乘x軸鏡射矩陣,即可求得組合變換的矩陣。

逐選項解析

A$\begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ -\frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}$✓ 正確
正確計算出先旋轉後鏡射的矩陣乘積,結果為 [ [√2/2, -√2/2], [-√2/2, -√2/2] ]。
B$\begin{bmatrix} -\frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}$✕ 易錯陷阱
此矩陣行列式為 1,代表純旋轉(逆時針 135 度),未包含鏡射變換,屬於計算或概念錯誤的干擾選項。
C$\begin{bmatrix} -\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ -\frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}$✕ 錯誤
D$\begin{bmatrix} -\frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ -\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}$✕ 易錯陷阱

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