假設地球質量 $M_{e}$ 、半徑 $R$ 。物體1的質量為 $m$ ，由火箭將其從地球表面推升至距地表高度為 $R$ 之處，其重力位能改變量為 $\Delta U_{1}$ 。物體2的質量為 $2m$ ，原本位於距離地表 $2R$ 高度之軌道上，由火箭將其推升至距地表高度為 $3R$ 之軌道，其重力位能改變量為 $\Delta U_{2}$ 。請問 $\Delta U_{1}: \Delta U_{2}$ 等於多少？

共 12 類科共用卷

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普通物理與普通化學113 年第 2 題單選題

假設地球質量 $M_{e}$ 、半徑 $R$ 。物體 1 的質量為 $m$ ，由火箭將其從地球表面推升至距地表高度為 $R$ 之處，其重力位能改變量為 $Δ U_{1}$ 。物體 2 的質量為 $2 m$ ，原本位於距離地表 $2 R$ 高度之軌道上，由火箭將其推升至距地表高度為 $3 R$ 之軌道，其重力位能改變量為 $Δ U_{2}$ 。請問 $Δ U_{1}$ ： $Δ U_{2}$ 等於多少？

3 : 1

正確答案

3 : 2

1 : 2

1 : 3

答案與詳解

正確答案

重力位能變化量公式 ΔU = GMm(1/r初 - 1/r末)，注意 r 為「距地心距離」而非地表高度，代入計算即可得比值。

為什麼答案是 A

正確答案。物體1的ΔU1 = GMm(1/R - 1/2R) = GMm/(2R)。物體2質量2m，ΔU2 = G(M)(2m)(1/3R - 1/4R) = 2GMm/(12R) = GMm/(6R)。兩者比值 ΔU1:ΔU2 = (1/2):(1/6) = 3:1。

載入中…

項目	物體1	物體2	備註
質量	m	2m	注意質量差異
初始r (距地心)	R	3R	r = R + h
最終r (距地心)	2R	4R	h為地表高度
ΔU 表達式	GMm/(2R)	GMm/(6R)	化簡後結果
比值貢獻	1/2	1/6	相比得3:1