教檢-國民小學數學能力測驗104 年第 5 題單選題
已知 f(x)=x2+2x+3，問下列敘述何者正確？
A在 x=1 時，f(x) 有最小值 6
B在 x=1 時，f(x) 有最大值 6
C在 x=−1 時，f(x) 有最小值 2正確答案
D在 x=−1 時，f(x) 有最大值 2
C正確答案
二次函數開口向上必有最小值，利用配方法將原式化為 f(x)=(x+1)²+2，即可看出當 x=-1 時有最小值 2。
為什麼答案是 C
利用配方法：f(x) = x² + 2x + 3 = (x² + 2x + 1) + 2 = (x+1)² + 2。因為 (x+1)² 恆大於等於 0，當 x=-1 時，f(x) 有最小值 2。
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完整詳解
Pro · 無限重點 二次函數開口向上必有最小值，利用配方法將原式化為 f(x)=(x+1)²+2，即可看出當 x=-1 時有最小值 2。
看到 x² 係數為正 (a=1>0)，開口向上，秒刪「最大值」選項(B,D)。利用頂點公式 x = -b/2a = -2/2 = -1，代入得 f(-1)=2，選 C。
逐選項分析
A✕ 陷阱
當 x=1 時，f(1) = 1+2+3 = 6，但這只是一個普通的函數值，並非頂點。且因為開口向上，最小值發生在頂點 x=-1 處。
B✕
二次函數的 x² 係數為正 (a=1>0)，圖形開口向上，函數值可以無限大，因此在實數範圍內「沒有最大值」。
C✓ 正確
利用配方法：f(x) = x² + 2x + 3 = (x² + 2x + 1) + 2 = (x+1)² + 2。因為 (x+1)² 恆大於等於 0，當 x=-1 時，f(x) 有最小值 2。
D✕ 陷阱
雖然頂點 x 座標確實是 -1，函數值也是 2，但因為圖形開口向上，這個點是圖形的最低點，所以是「最小值」而非「最大值」。
二次函數 f(x) = ax² + bx + c 極值判斷
| a 的正負 | 圖形開口方向 | 極值種類 | 頂點 x 座標公式 |
|---|
| a > 0 | 向上 (∪) | 有最小值 (無最大值) | x = -b / 2a |
| a < 0 | 向下 (∩) | 有最大值 (無最小值) | x = -b / 2a |
二次函數的極值問題,核心在於「開口方向決定極值種類」:係數 a>0 開口向上只有最小值,a<0 開口向下只有最大值。判斷極值位置有兩招,公式法用頂點 x=-b/(2a) 要特別注意負號別漏,配方法則是湊成 (x-h)²+k 形式後直接看出頂點 (h,k)。最容易出錯的地方是粗心算錯頂點橫坐標的正負號,或者看到極值就反射選「最大值」而忽略開口方向。遇到這類題建議先看係數 a 判斷有沒有極值、是哪種極值,再用配方法驗證頂點位置最保險。 
