設 $L_{1}:\frac{x - 3}{2} = \frac{y - 5}{3} = \frac{z - 3}{2}$ ， $L_{2}:\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 4}{2} = \fr…

Question

設 $L_{1}:\frac{x - 3}{2} = \frac{y - 5}{3} = \frac{z - 3}{2}$ ， $L_{2}:\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 4}{2} = \frac{z + 2}{2}$ 若 $A$ 在 $L_{1}$ 上， $B$ 、 $C$ 二點在 $L_{2}$ 上使 $\Delta ABC$ 為正三角形，則 $\Delta ABC$ 的面積最小為何？
(A) $3\sqrt{3}$
(B) $2\sqrt{3}$
(C) $\sqrt{3}$
(D) 1

Accepted Answer

正確答案為 A。 求出兩歪斜直線的距離為3，此即正三角形高的最小值，進而算出最小面積為 $3\sqrt{3}$。 (A) 兩直線方向向量分別為 (2,3,2) 與 (1,2,2)，計算得兩歪斜直線的距離 $d=3$。正三角形的高 $h$ 最小為 3，對應最小面積 $S = \frac{\sqrt{3}}{3} 	imes 3^2 = 3\sqrt{3}$。 (B) 算出最小邊長為 $2\sqrt{3}$，若誤將邊長數值當作面積，或代入面積公式時計算有誤，易錯選此項。

設 $L_{1} : \frac{x - 3}{2} = \frac{y - 5}{3} = \frac{z - 3}{2}$ ， $L_{2} : \frac{x - 1}{1} = \frac{y + 4}{2} = \frac{z + 2}{2}$ 若 $A$ 在 $L_{1}$ 上， $B$ 、 $C$ 二點在 $L_{2}$ 上使 $Δ A B C$ 為正三角形，則 $Δ A B C$ 的面積最小為何？

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