令實數 $x, y, z$ 滿足 $x + y + z = 26$ 及 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 28$ ，求 $\frac{x}{y} + \frac{y}{…

Question

令實數 $x, y, z$ 滿足 $x + y + z = 26$ 及 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 28$ ，求 $\frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} + \frac{x}{z} + \frac{z}{y} + \frac{y}{x}$ 之值？
(A) 725
(B) 270
(C) 365
(D) 2013

Accepted Answer

正確答案為 A。 利用代數式展開 $(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$ 可快速求得目標式之值。 (A) 正確。將 $(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$ 展開後為 $3 + (\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{x}{z}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x})$，代入已知數值計算 $26 	imes 28 - 3 = 725$。 (B) 錯誤。未能正確找出代數式之間的恆等關係，或計算過程出現算術錯誤。

令實數 $x, y, z$ 滿足 $x + y + z = 26$ 及 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 28$ ，求 $\frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} + \frac{x}{z} + \frac{z}{y} + \frac{y}{x}$ 之值？

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