數列滿足 $a_{n+1}=\frac{b_{n}+c_{n}}{2},b_{n+1}=\frac{a_{n}+c_{n}}{2},c_{n+1}=\frac{b_{n}+a_{n}}{2}$ ，其初始條件為 $a_{1…

Question

數列滿足 $a_{n+1}=\frac{b_{n}+c_{n}}{2},b_{n+1}=\frac{a_{n}+c_{n}}{2},c_{n+1}=\frac{b_{n}+a_{n}}{2}$ ，其初始條件為 $a_{1}=a,\ b_{1}=b,\ c_{1}=c$ ，
則極限 $\lim_{n	o\infty}c_n=?$
(A) $\sqrt{abc}$
(B) $\sqrt[3]{abc}$
(C) $\frac{a+b+c}{3}$
(D) $\frac{a+b+c}{2}$

Accepted Answer

正確答案為 C。 三數列每一項皆為另兩項之算術平均，其總和恆為定值，極限必為總和的三分之一。 (A) 此為兩數的幾何平均數形式。本題遞迴關係為線性相加而非相乘，故不會收斂至幾何平均。 (B) 此為三數的幾何平均數形式。同上，線性遞迴系統不會產生幾何平均的結果。

數列滿足 $a_{n + 1} = \frac{b _{n} + c _{n}}{2}, b_{n + 1} = \frac{a _{n} + c _{n}}{2}, c_{n + 1} = \frac{b _{n} + a _{n}}{2}$ ，其初始條件為 $a_{1} = a, b_{1} = b, c_{1} = c$ ，則極限 $lim_{n \to \infty} c_{n} = ?$

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