求 $\lim_{n o\infty}(1-\frac{1}{2^{2}})(1-\frac{1}{3^{2}})(1-\frac{1}{4^{2}})\cdots(1-\frac{1}{n^{2}})=?$

Question

求 $\lim_{n	o\infty}(1-\frac{1}{2^{2}})(1-\frac{1}{3^{2}})(1-\frac{1}{4^{2}})\cdots(1-\frac{1}{n^{2}})=?$
(A) 2
(B) 1
(C) 0
(D) $\frac{1}{2}$

Accepted Answer

正確答案為 D。 將一般項因式分解為平方差公式後，利用連乘積的相消性質化簡，再取極限即可得到二分之一。 (A) 計算過程中若未正確相消或誤將分子分母顛倒，可能會得出錯誤的整數值。 (B) 若誤以為每一項趨近於 1，連乘積也趨近於 1，就會誤選此選項，忽略了無窮多個小於 1 的數相乘會使結果變小。

求 $lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{2 ^{2}}) (1 - \frac{1}{3 ^{2}}) (1 - \frac{1}{4 ^{2}}) \dots (1 - \frac{1}{n ^{2}}) = ?$