設 $x = a + \sqrt{a^2 - 1}$ , $a^2 > 1$ , 用 $a$ 表示 $x^3 + x^{-3} = ?$

正確答案為 A。利用共軛根式求出 $x + x^{-1} = 2a$，再代入立方和公式即可求得 $x^3 + x^{-3} = 8a^3 - 6a$。

國中教甄｜數學數學107 年第 72 題單選題

設 $x = a + a^{2} - 1$ , $a^{2} > 1$ , 用 $a$ 表示 $x^{3} + x^{- 3} = ?$

A$8a^3 - 6a$正確答案

B$8a^3 - 3a$

C$6a^3 - 2a$

D$6a^3 - 4a$

答案與詳解

正確答案

利用共軛根式求出

x + x^{- 1} = 2 a

，再代入立方和公式即可求得

x^{3} + x^{- 3} = 8 a^{3} - 6 a

。

正確計算 $x + x^{- 1} = 2 a$ ，並代入 $(2 a)^{3} - 3 (2 a) = 8 a^{3} - 6 a$ ，結果完全正確。

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