國中教甄｜數學數學107 年第 58 題單選題

如圖， $\overline{A B}$ 是圓 $O$ 的直徑， $\overline{B C}$ 是過 $B$ 點之切線， $D$ 在 $\overline{A C}$ 上。求作：在 $\overline{B C}$ 上取 $P$ 點，使得 $\overline{A P}$ 平分 $△ A B C$ 的面積。下列有四個尺規作圖的方法，何者錯誤？

A取 $\overline{BC}$ 的中點 $P$ ，連 $\overline{AP}$

B作 $\angle A$ 之角平分線交 $\overline{BC}$ 於 $P$ 點正確答案

C作 $\overline{BD}$ 的中垂線交 $\overline{BC}$ 於 $P$ 點，連 $\overline{AP}$

D過 $O$ 點作直線平行 $\overline{AC}$ 交 $\overline{BC}$ 於 $P$ 點，連 $\overline{AP}$

答案與詳解

正確答案

AP 要平分 △ABC 面積，必須使 P 成為 BC 中點；角平分線交 BC 所得的點通常不是 BC 中點，因此錯誤的是 B。

作 ∠A 的角平分線交 BC 於 P 時，依角平分線定理，BP：PC＝AB：AC。在直角三角形 ABC 中，AC 是斜邊，長度大於 AB，因此 BP≠PC，AP 不會平分 △ABC 的面積，故此方法錯誤。

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如圖， AB 是圓 O 的直徑， BC 是過 B 點之切線， D 在 AC 上。求作：在 BC 上取 P 點，使得 AP 平分 △ABC 的面積。下列有四個尺規作圖的方法，何者錯誤？