若 $\Delta ABC$ 、 $\Delta DCE$ 皆為正三角形，且 $\overline{BC}=6$ ， $\overline{CE}=4$ ，B、C、E三點共線，M、N分別為 $\overline{BD}$ 、 $\overline{AE}$ 之中點，則 $\Delta MNC$ 之面積為何？ (A) $\frac{3\sqrt{3}}{4}$ (B) $\frac{5\sqrt{3}}{4}$ (C) $\frac{7\sqrt{3}}{4}$ (D) $\frac{9\sqrt{3}}{4}$

國中教甄｜數學數學107 年第 74 題單選題

若 $Δ A B C$ 、 $Δ D C E$ 皆為正三角形，且 $\overline{B C} = 6$ ， $\overline{C E} = 4$ ，B、C、E三點共線，M、N分別為 $\overline{B D}$ 、 $\overline{A E}$ 之中點，則 $Δ M N C$ 之面積為何？

A$\frac{3\sqrt{3}}{4}$

B$\frac{5\sqrt{3}}{4}$

C$\frac{7\sqrt{3}}{4}$正確答案

D$\frac{9\sqrt{3}}{4}$

答案與詳解

正確答案

將兩個正三角形放在同側並座標化後，利用中點與行列式面積公式可得 \frac{7\sqrt{3}}{4}。

A$\frac{3\sqrt{3}}{4}$✕ 錯誤

此值通常來自漏掉其中一個正三角形的高度貢獻，或誤將面積公式中的係數減半；以中點座標與行列式計算並不符合。

B$\frac{5\sqrt{3}}{4}$✕ 易錯陷阱

這是常見陷阱：若把兩個正三角形畫在直線異側，或在行列式符號處理上出錯，會得到此結果；官方答案對應兩正三角形同側的配置。

C$\frac{7\sqrt{3}}{4}$✓ 正確

D$\frac{9\sqrt{3}}{4}$✕ 錯誤

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