台北市國小教師甄選-英語科基礎類科知能111 年第 48 題單選題
下面是六年級學生利用短除法進行解題的紀錄（如下圖）：甲生說：「因為 E、F 一定是質數，所以 A、B 兩數的最大公因數是 3 乘以 2 等於 6。」乙生說：「A、B 兩數都是 6 的倍數。」針對此紀錄的說明何者正確？
A甲生錯誤，乙生錯誤
B甲生錯誤，乙生正確正確答案
C甲生正確，乙生錯誤
D甲生正確，乙生正確
B正確答案
由圖中短除法可得 A=6E、B=6F，乙生正確；但 E、F 只需互質不必為質數（如 4 和 9），故甲生錯誤，答案為 B。
為什麼答案是 B
甲生把『互質』誤解為『質數』，故錯誤；乙生由 A=3×2×E=6E、B=3×2×F=6F 可知 A、B 皆為 6 的倍數，正確。
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完整詳解
Pro · 無限重點 由圖中短除法可得 A=6E、B=6F，乙生正確；但 E、F 只需互質不必為質數（如 4 和 9），故甲生錯誤，答案為 B。
1. 讀圖：短除法依序以 3、2 同時去除 A、B，最後得到商 E、F。\n2. 由短除法可得 \(A = 3 \times 2 \times E = 6E\)，\(B = 3 \times 2 \times F = 6F\)。\n3. 短除法求 GCD 的條件是「最後一列商互質」，互質僅要求 \(\gcd(E,F)=1\)，不需 E、F 皆為質數。\n4. 反例：E=4、F=9，互質但都不是質數，此時 GCD 仍為 6。故甲生敘述錯誤。\n5. 由 \(A=6E\)、\(B=6F\) 知 A、B 必為 6 的倍數，乙生正確。\n6. 結論：甲錯乙對，選 B。
逐選項分析
B✓ 正確
甲生把『互質』誤解為『質數』，故錯誤；乙生由 A=3×2×E=6E、B=3×2×F=6F 可知 A、B 皆為 6 的倍數，正確。
短除法求最大公因數的關鍵
| 項目 | 重點 |
|---|
| 短除法原理 | 左側為 A、B 的公因數，最後一列商需互質 |
| 最大公因數 | 所有左側除數相乘 = GCD，前提是最後 E、F 互質 |
| E、F 須互質 | 互質不等於兩者皆為質數，例如 (4,9) 互質但都不是質數 |
| 甲生錯誤點 | 誤認 E、F 必為質數；事實上只需互質 |
| 乙生正確點 | A=6×E、B=6×F，故 A、B 皆為 6 的倍數 |
短除法求最大公因數時，最後一列的商只需『互質』，並不需要『皆為質數』。例如 GCD(24,54) 用 3、2 短除後得 4、9，仍互質但均非質數。考生若把『互質』與『質數』畫等號就會誤判甲生為對。 
