求 $(1+x+x^2{)}^5$ 展開式中 $x^6$ 的係數。

正確列出所有滿足 $a+b+c=5$ 且 $b+2c=6$ 的非負整數解 $(0,4,1)$、$(1,2,2)$、$(2,0,3)$，其係數分別為 5、30、10，總和為 45。