已知 $A(-2,0), B(1,0), C(0,3)$ 為平面上三個點，動點 $P$ 滿足 $3\overrightarrow{CP} \cdot \overrightarrow{AB} = \left|\overri…

Question

已知 $A(-2,0), B(1,0), C(0,3)$ 為平面上三個點，動點 $P$ 滿足 $3\overrightarrow{CP} \cdot \overrightarrow{AB} = \left|\overrightarrow{AP}\right|^2 - 2\left|\overrightarrow{BP}\right|^2$ 。求 $P$ 點之軌跡方程式的圖形所圍成的面積。
(A) $\frac{3}{4}\pi$
(B) $\frac{5}{4}\pi$
(C) $\frac{7}{4}\pi$
(D) $\frac{9}{4}\pi$

Accepted Answer

正確答案為 D。 將動點座標代入向量內積與長度平方公式，化簡後可得圓的方程式，進而求出面積。 (A) 若將半徑誤算為 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，或在計算面積時未將半徑正確平方，會得出此錯誤結果。 (B) 若在化簡 $x^2+x+y^2=2$ 進行配方時，常數項移項或計算錯誤，導致半徑平方誤算為 $\frac{5}{4}$，會選此選項。

已知 $A (- 2, 0), B (1, 0), C (0, 3)$ 為平面上三個點，動點 $P$ 滿足 $3 C P \cdot A B = A P^{2} - 2 B P^{2}$ 。求 $P$ 點之軌跡方程式的圖形所圍成的面積。

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已知 A(−2,0),B(1,0),C(0,3) 為平面上三個點，動點 P 滿足 3CP⋅AB=​AP​2−2​BP​2 。求 P 點之軌跡方程式的圖形所圍成的面積。

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