由四點 $A(0,0)$ , $B(2,0)$ , $C(2,1)$ , $D(0,1)$ 所圍的四邊形中任選一點 $p$ , 則 $P$ 到原點的距離小於 $P$ 到點 (3,1) 的距離之機率為何?

Question

由四點 $A(0,0)$ , $B(2,0)$ , $C(2,1)$ , $D(0,1)$ 所圍的四邊形中任選一點 $p$ , 則 $P$ 到原點的距離小於 $P$ 到點 (3,1) 的距離之機率為何?
(A) $\frac{1}{2}$
(B) $\frac{2}{3}$
(C) $\frac{3}{4}$
(D) $\frac{4}{5}$

Accepted Answer

正確答案為 C。 將距離條件化為 3x+y<5 的半平面，與矩形交集為梯形，面積 3/2 除以矩形面積 2 得機率 3/4。 (A) 若誤以為中垂線恰好將矩形平分，會得到 1/2，但中垂線 3x+y=5 並非通過矩形中心，故不正確。 (B) 若計算梯形面積時將平行邊長度加錯或高代錯，可能得到 2/3，但正確梯形面積為 3/2，機率為 3/4。

由四點 $A (0, 0)$ , $B (2, 0)$ , $C (2, 1)$ , $D (0, 1)$ 所圍的四邊形中任選一點 $p$ , 則 $P$ 到原點的距離小於 $P$ 到點 (3,1) 的距離之機率為何?

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