國中教甄｜數學數學115 年第 26 題單選題

正整數 N 有 12 個正因數，其中兩個因數為 8 和 50，若 $N = 2^{a} \times 5^{b}$ ，則 $a + b = ?$

A5正確答案

D11

答案與詳解

正確答案

由因數 8 和 50 推得 a≥3 且 b≥2，再代入因數個數公式 (a+1)(b+1)=12 即可解出 a=3、b=2，故 a+b=5。

為什麼答案是 A

由 $8 = 2^{3}$ 為因數得 $a \geq 3$ ，由 $50 = 2 \times 5^{2}$ 為因數得 $b \geq 2$ 。因數個數公式為 $(a + 1) (b + 1) = 12$ ，滿足 $a + 1 \geq 4$ 且 $b + 1 \geq 3$ 的唯一整數分解為 $4 \times 3$ ，故 $a + 1 = 4 \Rightarrow a = 3$ ， $b + 1 = 3 \Rightarrow b = 2$ ，因此 $a + b = 5$ 。