極限 $\lim_{n o\infty}\left(\frac{1}{n^{5}}+\frac{2^{4}}{n^{5}}+\cdots+\frac{n^{4}}{n^{5}} ight)$ 為何？

Question

極限 $\lim_{n	o\infty}\left(\frac{1}{n^{5}}+\frac{2^{4}}{n^{5}}+\cdots+\frac{n^{4}}{n^{5}}ight)$ 為何？
(A) A 1/5
(B) B 1/6
(C) C 1/7
(D) D 1/8

Accepted Answer

正確答案為 A。 將極限式轉化為黎曼和，並利用定積分計算 $\int_{0}^{1} x^4 dx$ 即可求得答案為 1/5。 (A) 將原式改寫為 $\lim_{n	o\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{k}{n}ight)^4$，此為函數 $f(x)=x^4$ 在區間 $[0,1]$ 的黎曼和，其極限值為 $\int_{0}^{1} x^4 dx = \frac{1}{5}$，故為正確答案。 (B) 若誤將積分函數視為 $x^5$ 或計算積分時次方加 1 錯誤，可能會得出 1/6，但正確的積分函數應為 $x^4$。

極限 $lim_{n \to \infty} (\frac{1}{n ^{5}} + \frac{2 ^{4}}{n ^{5}} + \dots + \frac{n ^{4}}{n ^{5}})$ 為何？

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