令 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \ 2 & 0 & 1 \ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ 。若 $A^3 + aA^2 + bA + cI = 0$ , 其中…

Question

令 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \ 2 & 0 & 1 \ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ 。若 $A^3 + aA^2 + bA + cI = 0$ , 其中 a,b,c 為實數, I, 0 為 3 階單位矩陣和零矩陣, 求 b 值?
(A) -1
(B) -2
(C) -3
(D) -4

Accepted Answer

正確答案為 D。 利用凱萊-哈密頓定理，矩陣滿足其特徵多項式，計算特徵多項式中一次項的係數即為 b 值。 (A) 僅計算部分二階主子式或運算錯誤，未正確加總所有二階主子式。 (B) 運算過程有誤，未能正確求得三個二階主子式的總和。

令 $A = 12 - 1 201 - 1 12$ 。若 $A^{3} + a A^{2} + b A + c I = 0$ , 其中 a,b,c 為實數, I, 0 為 3 階單位矩陣和零矩陣, 求 b 值?

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令 A=​12−1​201​−112​​ 。若 A3+aA2+bA+cI=0 , 其中 a,b,c 為實數, I, 0 為 3 階單位矩陣和零矩陣, 求 b 值?

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