$L_{1}:\frac{x-11}{4}=\frac{y+5}{-3}=\frac{z+7}{-1}$ ， $L_{2}:\frac{x+5}{3}=\frac{y-4}{-4}=\frac{z-6}{-2}$ 求直線…

Question

$L_{1}:\frac{x-11}{4}=\frac{y+5}{-3}=\frac{z+7}{-1}$ ， $L_{2}:\frac{x+5}{3}=\frac{y-4}{-4}=\frac{z-6}{-2}$ 求直線 $L_{1}$ 與 $L_{2}$ 的距離？
(A) $\sqrt{78}$
(B) $\sqrt{82}$
(C) $\sqrt{84}$
(D) $\sqrt{86}$

Accepted Answer

正確答案為 A。 利用兩直線方向向量的外積求得公垂線方向向量，再將兩直線上定點的連線向量投影於公垂線方向，即可求得兩歪斜直線的距離。 (A) 由方向向量外積得公垂向量 (2, 5, -7)，其長度為 \sqrt{78}；兩定點連線向量為 (-16, 9, 13)，兩者內積絕對值為 78，相除得距離 \sqrt{78}。 (B) 此選項為常見計算錯誤的誘答，例如外積分量計算錯誤或內積加減錯誤。

$L_{1} : \frac{x - 11}{4} = \frac{y + 5}{- 3} = \frac{z + 7}{- 1}$ ， $L_{2} : \frac{x + 5}{3} = \frac{y - 4}{- 4} = \frac{z - 6}{- 2}$ 求直線 $L_{1}$ 與 $L_{2}$ 的距離？

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