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國中教甄｜數學數學103 年第 3 題單選題

設 $N = 100! = 2^{k} \cdot 3^{m} \cdot P$ ，P與6互質，則 $(k, m) = ?$

A(99, 50)

B(97, 45)

C(97, 48)正確答案

D(95, 48)

答案與詳解

C

正確答案

利用勒讓德定理計算 100! 中質因數 2 和 3 的最高次方數，分別為 97 和 48。

逐選項解析

A(99, 50)✕ 錯誤

計算過程有誤，未正確套用勒讓德定理，導致 k 與 m 的值皆錯誤。

B(97, 45)✕ 錯誤

m 的值計算錯誤，3 的冪次項相加應為 48 而非 45。

C(97, 48)✓ 正確

正確套用勒讓德定理，k = 50+25+12+6+3+1 = 97，m = 33+11+3+1 = 48，計算完全正確。

D(95, 48)✕ 錯誤

k 的值計算錯誤，2 的冪次項相加應為 97 而非 95。

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