已知某二元一次方程組可以寫成矩陣的等式 ( A - 2 I ) X = { \binom { 1 } { 2 } } ，其中A為2×2方陣； X = { \binom { x } { y } } ，而 I = \left…

Question

已知某二元一次方程組可以寫成矩陣的等式 ( A - 2 I ) X = { \binom { 1 } { 2 } } ，其中A為2×2方陣； X = { \binom { x } { y } } ，而 I = \left( \begin{array} { c c } { { 1 } } & { { 0 } } \ { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} ight) o若此方程組有唯一的解 X _ { _ 0 } = { \binom { 2 } { 1 } } ，則下列哪一選項是不正確的？
(A) 方陣A 的行列式之值可能等於4
(B) 若A-2I的反矩陣為B，則 { \binom { 2 } { 1 } } = { \binom { 1 } { 2 } } B
(C) 方程組 A X = { \binom { 5 } { 4 } } 必定有解
(D) 方程組 A X = { \binom { 4 } { 5 } } 可能無解 科目：數學科

Accepted Answer

正確答案為 B。 矩陣乘法具有順序性且須符合維度規則，選項(B)的乘法順序與維度皆錯誤。 (A) 令 $A-2I = \begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix}$，由題意可推得 $2a+b=1$ 且 $2c+d=2$。計算 $A$ 的行列式並代入適當參數，可使其值為 4，同時滿足 $A-2I$ 可逆的條件，故此敘述正確。 (B) 由 $(A-2I)X = \binom{1}{2}$，兩邊應左乘反矩陣 $B$，得 $X = B\binom{1}{2}$。選項寫為 $\binom{1}{2}B$，不僅乘法順序錯誤（矩陣乘法不具交換律），且 $2 	imes 1$ 矩陣無法左乘 $2 	imes 2$ 矩陣，維度不相容，故此敘述錯誤。

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