已知大於或等於正整數 $n$ 的整數都可以表示成 $5a + 14b + 21c$ 的形式，其中 $a, b, c$ 為正整數，則 $n$ 的最小值為何？

Question

已知大於或等於正整數 $n$ 的整數都可以表示成 $5a + 14b + 21c$ 的形式，其中 $a, b, c$ 為正整數，則 $n$ 的最小值為何？
(A) 73
(B) 75
(C) 78
(D) 81

Accepted Answer

正確答案為 C。 利用變數變換將正整數條件轉為非負整數，並透過模 5 同餘分析找出無法表示的最大整數，最後加回常數項即得答案。 (A) 若未察覺 $2y+3z$ 無法表示 1，誤以為 $14y+21z$ 可表示 7，會使模 5 餘 2 的最小可表示數誤判為 7，進而算出錯誤的最大不可表示數 33，加上 40 得 73。 (B) 可能在列舉同餘類或計算 $5x+14y+21z$ 的組合時發生疏漏，未能準確找出最大不可表示數 37，導致結果不正確。

已知大於或等於正整數 $n$ 的整數都可以表示成 $5 a + 14 b + 21 c$ 的形式，其中 $a, b, c$ 為正整數，則 $n$ 的最小值為何？

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