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國中教甄|數學數學105 年第 9 題單選題

如圖(一)所示,圓O的半徑為5,點A坐標為(3,0),點B為圓O上一點,點C為線段 \overline { { \mathrm { A B } } } 的中垂線和線段OB的交點 當點B在圓O上移動時,試求動點C的軌跡方程式。 y

題目圖片
A{ \frac { \left( x - 1 . 5 \right) ^ { 2 } } { 2 5 } } + { \frac { y ^ { 2 } } { 2 5 } } = { \frac { 1 } { 4 } }
B\frac { x ^ { 2 } } { 2 5 } + \frac { y ^ { 2 } } { 1 6 } = \frac { 1 } { 4 } BC
C{ \frac { x ^ { 2 } } { 2 5 } } + { \frac { y ^ { 2 } } { 8 } } = { \frac { 1 } { 4 } }
D{ \frac { \left( x - 1 . 5 \right) ^ { 2 } } { 2 5 } } + { \frac { y ^ { 2 } } { 1 6 } } = { \frac { 1 } { 4 } } 0 A正確答案
答案與詳解
D
正確答案
C 在 AB 的中垂線上且位於半徑 OB 上,因此 CA=CB 且 CB+CO=5,故 C 到 O、A 的距離和為 5,軌跡是以 O、A 為焦點的完整橢圓,選 D。

逐選項解析

A{ \frac { \left( x - 1 . 5 \right) ^ { 2 } } { 2 5 } } + { \frac { y ^ { 2 } } { 2 5 } } = { \frac { 1 } { 4 } }✕ 易錯陷阱
中心雖在 (1.5,0),但 x 與 y 的分母相同,表示圓而非所需橢圓;其 y 方向半軸長錯誤。
B\frac { x ^ { 2 } } { 2 5 } + \frac { y ^ { 2 } } { 1 6 } = \frac { 1 } { 4 } BC✕ 易錯陷阱
中心在原點,未平移至兩焦點 O、A 的中點 (1.5,0),因此不是正確軌跡。
C{ \frac { x ^ { 2 } } { 2 5 } } + { \frac { y ^ { 2 } } { 8 } } = { \frac { 1 } { 4 } }✕ 錯誤
D{ \frac { \left( x - 1 . 5 \right) ^ { 2 } } { 2 5 } } + { \frac { y ^ { 2 } } { 1 6 } } = { \frac { 1 } { 4 } } 0 A✓ 正確

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