如果二階方陣 $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ 滿足 $A^{3} = \begin{bmatrix} 7 & 6 \\ -6 & -5 \end{bmatrix}$ 與 $A^{5} = \begin{bmatrix} 11 & 10 \\ -10 & -9 \end{bmatrix}$ ，則 $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}$ 為下面哪一個值？

國中教甄｜數學數學111 年第 39 題單選題

如果二階方陣 $A = [a c b d]$ 滿足 $A^{3} = [7 - 6 6 - 5]$ 與 $A^{5} = [11 - 10 10 - 9]$ ，則 $a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2}$ 為下面哪一個值？

A18正確答案

B21

C23

D26

答案與詳解

正確答案

透過觀察矩陣冪次的線性關係，將矩陣表示為單位矩陣與冪零矩陣的線性組合，進而求出原矩陣並計算各元素平方和。

觀察 $A^{3} = I + 6 M$ 且 $A^{5} = I + 10 M$ ，其中 $M$ 為滿足 $M^{2} = O$ 的矩陣。推得 $A = I + 2 M$ ，計算出其元素為 3, 2, -2, -1，平方和為 18。

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