國中教甄｜數學數學111 年第 22 題單選題

設 $f (x)$ 為實係數三次多項式函數，滿足 $(x + 1) f (x)$ 除以 $x^{3} + x^{2} + x + 1$ 的餘式為 $x^{2} - 1$ 。若 $f (0) = 1$ 且 $f (- 1) = 0$ ，則 $f (1) = ?$

A6正確答案

答案與詳解

正確答案

利用因式分解將除式化為

(x + 1) (x^{2} + 1)

，約去

(x + 1)

後以待定係數法求出

f (x)

，最後代入

x = 1

計算。

A6✓ 正確

由 $f(0)=1$ 得 $b-1=1 \Rightarrow b=2$；由 $f(-1)=0$ 得 $-2a+2b-2=0 \Rightarrow a=1$。故 $f(x)=(x^2+1)(x+2)+x-1$，代入 $x=1$ 得 $f(1)=(2)(3)+0=6$。

B7✕ 錯誤

計算錯誤。可能是在展開 $f(-1)$ 或解聯立方程式時發生算術失誤，導致求出錯誤的 $a$ 或 $b$ 值。

C8✕ 錯誤

D9✕ 錯誤

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精選詳解

設 f(x) 為實係數三次多項式函數，滿足 (x+1)f(x) 除以 x3+x2+x+1 的餘式為 x2−1 。若 f(0)=1 且 f(−1)=0 ，則 f(1)=?