使得二元一次聯立方程式 $\left\{ \begin{array}{l} 4x + 3y = a \\ 3x + 6y = b \end{array} \right.$ 的解 $(x, y)$ 滿足 $x + y$ 為整數的正整數 $a, b$ 中， $2a + b$ 的最小可能值為多少？

國中教甄｜數學數學111 年第 13 題單選題

使得二元一次聯立方程式 ${4 x + 3 y = a 3 x + 6 y = b$ 的解 $(x, y)$ 滿足 $x + y$ 為整數的正整數 $a, b$ 中， $2 a + b$ 的最小可能值為多少？

C11正確答案

D13

答案與詳解

正確答案

解聯立得

x + y = \frac{3 a + b}{15}

，由

x + y

為整數知

3 a + b = 15 k

，再將

2 a + b

轉化為

15 k - a

並取

k = 1, a = 4

得最小值 11。

若 $2 a + b = 11$ ， $(a, b)$ 可能為 $(1, 9), (2, 7), (3, 5), (4, 3), (5, 1)$ ，當 $(a, b) = (4, 3)$ 時， $3 a + b = 15$ 為 15 的倍數，符合所有條件，故 11 為最小可能值。

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