若某直角三角形有一股長為 7，且其內切圓的面積為 $4\pi$ ，則此三角形的面積為何？ (A) $\frac{70}{3}$ (B) $\frac{71}{3}$ (C) $\frac{77}{3}$ (D) $\frac{78}{3}$

國中教甄｜數學數學111 年第 17 題單選題

若某直角三角形有一股長為 7，且其內切圓的面積為 $4 π$ ，則此三角形的面積為何？

A$\frac{70}{3}$正確答案

B$\frac{71}{3}$

C$\frac{77}{3}$

D$\frac{78}{3}$

答案與詳解

正確答案

利用直角三角形內切圓半徑公式與畢氏定理求出另一股長，進而計算面積。

逐選項解析

A$\frac{70}{3}$✓ 正確

由內切圓面積求得半徑 $r=2$，利用直角三角形內切圓半徑公式 $r=rac{a+b-c}{2}$ 得到 $c=b+3$，再透過畢氏定理 $7^2+b^2=(b+3)^2$ 解得 $b=rac{20}{3}$，面積為 $rac{1}{2} imes 7 imes rac{20}{3} = rac{70}{3}$，故為正確答案。

B$\frac{71}{3}$✕ 錯誤

數值計算錯誤或誤用內切圓半徑公式所產生的干擾選項。

C$\frac{77}{3}$✕ 錯誤

D$\frac{78}{3}$✕ 錯誤

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