${\lim }_{n\to \infty }\left(\frac{n}{1+n^2}+\frac{n}{2^2+n^2}+\cdots +\frac{n}{n^2+n^2}\right)=$

正確轉換為 ${\int }_0^1\frac{1}{x^2+1}dx$，計算結果為 $\arctan (1)-\arctan (0)=\frac{\pi }{4}$。