設 $\alpha, \beta, p, q, r, s$ 為實數，如果 $\tan \alpha$ 和 $\tan \beta$ 為方程式 $x^{2} - px + q = 0$ 的二根，且 $\cot \alpha$ 和 $\cot \beta$ 為方程式 $x^{2} - rx + s = 0$ 的二根，則 rs 等於下列何者？ (A) pq (B) $\frac{1}{pq}$ (C) $\frac{p}{q^{2}}$ (D) $\frac{q}{p^{2}}$

正確答案為 C。利用韋達定理求出兩方程式根與係數的關係，再將 cot 轉換為 tan 即可求得 rs 的值。 (A) 計算過程未正確轉換 cot 與 tan 的關係，直接相乘 p 與 q 會得到錯誤結果。 (B) 僅考慮倒數關係而未正確處理 r 的分子部分，導致結果錯誤。

國中教甄｜數學數學102 年第 4 題單選題

設 $α, β, p, q, r, s$ 為實數，如果 $tan α$ 和 $tan β$ 為方程式 $x^{2} - p x + q = 0$ 的二根，且 $cot α$ 和 $cot β$ 為方程式 $x^{2} - r x + s = 0$ 的二根，則 rs 等於下列何者？

Apq

B$\frac{1}{pq}$

C$\frac{p}{q^{2}}$正確答案

D$\frac{q}{p^{2}}$

答案與詳解

正確答案

利用韋達定理求出兩方程式根與係數的關係，再將 cot 轉換為 tan 即可求得 rs 的值。

Apq✕ 錯誤

計算過程未正確轉換 cot 與 tan 的關係，直接相乘 p 與 q 會得到錯誤結果。

B$\frac{1}{pq}$✕ 錯誤

僅考慮倒數關係而未正確處理 r 的分子部分，導致結果錯誤。

C$\frac{p}{q^{2}}$✓ 正確

D$\frac{q}{p^{2}}$✕ 錯誤

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