已知 $3-\sqrt{5}$ 是方程式 $x^{2}-9x\cos\theta+4=0$ 的一個根，且 $\theta$ 為銳角，則 $\sin\frac{\theta}{2}=$ ？

正確答案為 A。利用韋達定理求出兩根之和以得到 $\cos\theta$，再透過半角公式計算 $\sin\frac{\theta}{2}$。

國中教甄｜數學數學111 年第 14 題單選題

已知 $3 - 5$ 是方程式 $x^{2} - 9 x cos θ + 4 = 0$ 的一個根，且 $θ$ 為銳角，則 $sin \frac{θ}{2} =$ ？

A$\frac{\sqrt{6}}{6}$正確答案

B$\frac{\sqrt{7}}{6}$

C$\frac{2\sqrt{2}}{6}$

D$\frac{1}{2}$

答案與詳解

正確答案

利用韋達定理求出兩根之和以得到

cos θ

，再透過半角公式計算

sin \frac{θ}{2}

。

由韋達定理得兩根和為 6，故 $cos θ = 2/3$ ，代入半角公式得 $\frac{6}{6}$ ，計算正確。

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