國中教甄｜數學數學111 年第 13 題單選題

設 $lo g x + 2 lo g y = 1$ ，試求 $3 x + 2 y^{2}$ 的最小值為何？

A$3\sqrt{15}$

B$5\sqrt{10}$

C$4\sqrt{15}$正確答案

D$9\sqrt{3}$

答案與詳解

正確答案

利用對數性質將條件化為

x y^{2} = 10

，再透過算術幾何平均不等式求得最小值。

A$3\sqrt{15}$✕ 錯誤

若僅計算

6 x y^{2}

而忘記乘上算幾不等式前方的係數 2，或化簡

60

時發生錯誤，可能得出此結果。

B$5\sqrt{10}$✕ 錯誤

若誤將條件式視為其他代數形式（如

x + 2 y = 10

）並錯誤套用不等式，可能得出此錯誤數值。

C$4\sqrt{15}$✓ 正確

正確使用算幾不等式，

3 x + 2 y^{2} \geq 2 3 x \cdot 2 y^{2} = 2 6 x y^{2} = 260 = 415

，且等號成立條件

3 x = 2 y^{2}

可滿足。

D$9\sqrt{3}$✕ 錯誤

若對數運算錯誤，例如誤將

x y^{2}

算成其他數值或誤用底數，會導致最終結果偏離。

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精選詳解

設 logx+2logy=1 ，試求 3x+2y2 的最小值為何？