設 $f(x) = x \sin(x) + e^{-x}$ ，則 $\lim_{h \to 0} \frac{f(2h) - 2f(0) + f(-2h)}{h^2}$ 之值為何？ (A) 6 (B) 8 (C) 10 (D) 12

國中教甄｜數學數學111 年第 1 題單選題

設 $f (x) = x sin (x) + e^{- x}$ ，則 $lim_{h \to 0} \frac{f ( 2 h ) - 2 f ( 0 ) + f ( - 2 h )}{h ^{2}}$ 之值為何？

C10

D12正確答案

答案與詳解

正確答案

利用二階導數的極限定義，將原式轉換為

4 f^{''} (0)

，代入計算即可得 12。

A6✕ 錯誤

若算出 $f''(0)=3$ 後，忘記乘上因步長 $2h$ 產生的係數 $2^2=4$，或誤以為原式等於 $2f''(0)$，便會誤選此答案。

B8✕ 錯誤

計算 $f''(0)$ 時若將 $e^{-x}$ 的二次微分符號弄錯，導致 $f''(0)=2$，再乘上係數 4 便會得到 8。

C10✕ 錯誤

D12✓ 正確

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